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Display information for equation id:math.63477.57 on revision:63477

* Page found: Results of Combinatorial Analysis (eq math.63477.57)

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\StirlingnumberS@{n}{n-k} = \sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}\binom{n-1+j}{k+j}\binom{n+k}{k-j}\*\Stirlingnumbers@{k+j}{j}

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MathML (11.933 KB / 1.782 KB) :

S ( n , n - k ) = j = 0 k ( - 1 ) j ( n - 1 + j k + j ) ( n + k k - j ) s ( k + j , j ) Stirling-number-second-kind-S 𝑛 𝑛 𝑘 superscript subscript 𝑗 0 𝑘 superscript 1 𝑗 binomial 𝑛 1 𝑗 𝑘 𝑗 binomial 𝑛 𝑘 𝑘 𝑗 Stirling-number-first-kind-S 𝑘 𝑗 𝑗 {\displaystyle{\displaystyle S\left(n,n-k\right)=\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}% \genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n-1+j}{k+j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n+k}{k-j}\*s\left(k% +j,j\right)}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle S\left(n,n-k\right)=\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}%&#10;\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n-1+j}{k+j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n+k}{k-j}\*s\left(k%&#10;+j,j\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">S</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.9.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">n</mi>
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.7.1.cmml">n</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.7.2.cmml">-</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.1.7.3.cmml">k</mi>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.15.1.1a" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml">j</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">k</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.15.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml">
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.2.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">-</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">1</mn>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.2.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">j</mi>
          </msup>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11.2.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
              <mfrac linethickness="0.0pt" id="p1.1.m1.1.11.2.3a" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.11.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.2.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.11.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.2.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.11.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.2.1.2.cmml">-</mo>
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                </mrow>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.11.2.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.3.1.1.cmml">k</mi>
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                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.11.2.4" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.5" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">(</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12.2.3" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
              <mfrac linethickness="0.0pt" id="p1.1.m1.1.12.2.3a" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.2.cmml">
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              <apply id="p1.1.m1.1.11.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.3">
                <plus id="p1.1.m1.1.11.2.3.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.3.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.11.2.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.3.1.1">𝑘</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.11.2.3.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.3.1.3">𝑗</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.5">
              <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2">binomial</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.12.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.2">
                <plus id="p1.1.m1.1.12.2.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.2.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.2.1.1">𝑛</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.2.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.2.1.3">𝑘</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.12.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.3">
                <minus id="p1.1.m1.1.12.2.3.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.3.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.2.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.3.1.1">𝑘</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.2.3.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.3.1.3">𝑗</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.9.2">
              <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.14.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.2">Stirling-number-first-kind-S</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.14.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.5">
                <plus id="p1.1.m1.1.14.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.5.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.14.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.5.1">𝑘</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.14.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.5.3">𝑗</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.14.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.7">𝑗</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle S\left(n,n-k\right)=\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}%
\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n-1+j}{k+j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n+k}{k-j}\*s\left(k%
+j,j\right)}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (15.121 KB / 4.464 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle S\left(n,n-k\right)=\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}% \genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n-1+j}{k+j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n+k}{k-j}\*s\left(k% +j,j\right)}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[eb3b364619d63234eae05006] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=63477&eid=math.63477.57 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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