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\sum_{j=0}^{n}j^{k} = \sum_{j=0}^{k}j!\StirlingnumberS@{k}{j}\binom{n+1}{j+1}

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∑ j = 0 n j k = ∑ j = 0 k j ! ⁢ S ⁡ ( k , j ) ⁢ ( n + 1 j + 1 ) superscript subscript 𝑗 0 𝑛 superscript 𝑗 𝑘 superscript subscript 𝑗 0 𝑘 𝑗 Stirling-number-second-kind-S 𝑘 𝑗 binomial 𝑛 1 𝑗 1 {\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{n}j^{k}=\sum_{j=0}^{k}j!S\left(k,j% \right)\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n+1}{j+1}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{n}j^{k}=\sum_{j=0}^{k}j!S\left(k,j%&#10;\right)\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n+1}{j+1}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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      <mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">
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            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">j</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">n</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <msup id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">j</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">k</mi>
        </msup>
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            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">j</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
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              <mi id="p1.1.m1.1.12.5" xref="p1.1.m1.1.12.5.cmml">k</mi>
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{\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{n}j^{k}=\sum_{j=0}^{k}j!S\left(k,j% \right)\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n+1}{j+1}}}

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